Geometría Analítica - Elipse

Concepto

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano P (x,y) cuya suma de sus distancias a 2 puntos fijos es una constante.

P1 F1 + P1 F2 = 2a

P2 F2 + P2 F2 = 2a

P3 F1 + P3 F2 = 2a

Elementos de la elipse

F1 ʌ F2: Focos: Puntos fijos.

E.F: Eje focal: Recta que pasa por el foco.

C: Centro: Punto medio de la elipse.

E.N: Eje normal: Recta que pasa por el centro perpendicular al eje focal.

V1 ʌ V2: Vértices: Puntos donde la curva corta el eje focal.

L.R: Lado recto: Segmento que une dos (2) puntos de la elipse pasando por uno de los focos.

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V1 V2: Eje mayor: Es el segmento que une los vértices = 2a

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B1 B2: Eje menor: Es el segmento que une los semiejes = 2b

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F1 F2: Segmento que une los focos = 2c

Ecuaciones de la elipse

Aplicación

Ejercicio 0

 

   

La elipse: En la antigüedad no era considerada como una figura geométrica,  se tomaba como una circunferencia deformada. Como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Aolonio de  Perge.

§  El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus.

§  En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco.

§  Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609.

§   Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.

§  En astronomía, la prueba de la teoría heliocéntrica, donde la Tierra giraba alrededor del Sol, fue creada para romper el geocentrismo que sostuvo que el Sol giraba alrededor de la Tierra.

§  Los primeros en ofrecer esta nueva teoría fueron Nicolás Copérnico (1473-1543), quien pasó varios años trabajando como profesor en la ciudad italiana de Padua.

§  Poco después, Galileo Galilei (1564-1642) probó esta teoría realizando los cálculos necesarios y la utilización de un telescopio desarrollado por él mismo.ELIPSE. No es una circunferencia deformada. Tiene unas propiedades geométricas y en ellas se basa el movimiento de los planetas y de los satélites que son tan importantes en las comunicaciones. Si un partido que juega la selección en Argentina,  no se enviase vía satélite, lo veríamos al día siguiente.

§  Si clavas una cuerda en dos puntos y la estiras con un puntero, puedes ir desplazándolo  y describes una elipse.

§  Es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

§  El sol está en uno de los focos. La tierra describe una órbita elíptica.

CURIOSIDADES

§  La cúpula del metro es una elipse. Si nos colocamos en los focos, oiríamos a los que hablan en el otro foco más fácilmente.

§  Un balón de rugby es un elipsoide de revolución, es decir una elipse girando.

§  Renacimiento ·”San Andrés”.

La cúpula en forma de elipse. La escuela de Atenas es una de las pinturas más famosas del artista Rafael Sanzio.

Pintada entre 1510 y 1512 como parte de una comisión para decorar con frescos las habitaciones que hoy en día son conocidas como las estancias de Rafael, ubicadas en el Vaticano.

PLAZA DE SAN PEDRO

§  La Virgen Sixtina – Rafael Sancio- 1518

§  Alegoría de la Aritmética – Givanni Battista Zelotti

§  Cúpula elíptica

Crucigrama

Aquí te dejamos un link para que resuelvas crucigramas con relación al tema de la elipse: http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/2338482/conicas.htm

Grandes matemáticos que contribuyeron en el estudio de las cónicas:

·         Euclides (330 A.C. - 275 A.C.): Escribió cuatro libros sobre las secciones cónicas.

·         Aristeo (330 a.C.): Las cónicas como secciones planas de un cono circular.  

·         Arquímedes (287-212 A.C): Sección de cono rectángulo.

·         Apolonio de Perga (262 A.C. - 190 A.C): Libro más famoso fue las “Secciones Cónicas”.

·         Blaise Pascal (1623-1662): Trabajo con las cónicas y desarrollo teoremas con la geometría proyectiva.

·         Leonard Euler (1707-1783): Demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones.


Links de soporte:

-    http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/historia/apolonio/conic
-      http://www.cepazahar.org/recursos/pluginfile.php/2980/mod_resource/content/0/Proyectos/coni/hitos_histricos_sobre_las_cnicas_la_antiguedad_clsica.html

-       http://html.rincondelvago.com/secciones-conicas_1.html

-       https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica

-       https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Matem%C3%A1ticos_importantes




Enlaces a otras páginas referentes a la elipse:

- Vitutor. (2014). Elipse:
http://www.vitutor.com/geo/coni/g_1.html

- Disfruta las matemáticas. Elipse:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse.html

- Espejo A. Heidy. (2011) Elipse elementos: 
http://es.slideshare.net/heidymagaly/elipse-elementos

- INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA. La Elipse:  http://www.fic.umich.mx/~lcastro/elipse.pdf

      

Vídeo tutoriales y vídeos referentes a la elipse:

- Julioprofe. Elipse. Tres (3) videos.

http://julioprofe.net/courses/elipse/

- Paulo Perez. (2009). Secciones cónicas.

https://www.youtube.com/watch?v=5Dk3FghguoY

- MateUBAmuseum. (2009). cónicas 1a. parte- Un enfoque elemental - Leonard Echagüe -Museo Matem. UBA.

https://www.youtube.com/watch?v=asEGxINUJGY

- MateUBAmuseum. (2009). cónicas 2a. parte - Leonard Echagüe - Museo Matemático UBA.

https://www.youtube.com/watch?v=ZoA1C2y4hnE